「使える数学」への貴重なアドバイス第2弾。しかも非常に刺激的です。

『数学をいかに使うか』の続編で、
前著に較べ「使える数学」の対象がより数学内部の理論に向けられているという印象を受ける。
全９章の難易度は区々で、
可微分多様体の定義、
リー群とリー環の対応理論、
など数学好きな読者にあえて説明する必要は無いのではというような箇所も見られるが、
この本で印象に残ったこと、
解説されている内容への若干のコメント、
などを述べてみたい。


「初等整数論をやるのに初等代数学からやったほうがいい」、
「有限群の表現論は、
ある体の上の多元環の理論の易しいところをまとめて、
それから導いたらよい」という著者の意見に多くの方が賛同されるだろう。
第４章で適切な例が示され、
更に第９章ではQ上の二次形式とp-進体、
クリフォード代数、
多元環論の密接な関係とそれらの有用性が説明されており面白い。
二次形式論とその数論は既に完成した理論と思い込んでいたが、
未だ発展途上と知り非常に驚いた。
参考書としてかなり高度なテキストや論文が紹介されているので、
先ず高レベルでなく二次形式の数論の面白さを実感できるテキストとして、
ザギヤー著『数論入門』、
小野著『数論序説』、
Cox著『Primes of the Form X2+nY2』、
などを勉強されると良いのでないかと思う。


次に、
第２章と第７章で、
等質空間（特に対称空間）の幾何学と解析学が、
数論の専門家の視点で解説されていてとても面白い。
複素上半平面における調和解析や保型形式の理論を高次元に拡張するような理論だと思えば良いだろう。
等質空間G/Kにおける幾何と解析がリー群Gやそのリー環の表現論に密接に関連する事を思えば、
本書でリー群とリー環、
更にその包絡環が「使える数学」として紹介されている事に納得されるであろう。
ここでもHelgasonなどのかなりの専門書が参考書として挙げられているので、
横田著『群と位相』、
小林・大島著『リー群と表現論』などを先ず一読されると良いと思う。
前者は第７章の終わりに述べられているカルタン-岩澤分解の具体例にも詳しく、
初学者向けに丁寧に書かれた良書として薦められる。