共変と反変が理解出来れば、次に進むことができる

私もこれまでテンソルの教科書に何度か挑戦する度に、
最初の共変ベクトルと反変ベクトルの説明で諦めてきた。
共変と反変の定義の必然性が理解出来ないからだ。


本書は、
共変と反変の歴史的誕生による誤解、
実例体験に基づく共変と反変の意義を丁寧に説明して、
次へ踏み出すことを可能にしてくれた。
その説明の一端を下記する。


「あなたがベクトルからテンソルの勉強に進もうとすると、
必ず共変ベクトルの成分と反変ベクトルの成分に関する議論に出会います。
その際、
共変成分は基底ベクトル全く同じように変換し、
反変成分は基底ベクトルとは逆に（正反対に）変換するという趣旨の記述を見かけるかも知れません。
この章（第４章）の後半で分かるように、
この記述は誤りではないのですが、
大きな落とし穴があります。
ふつう、
基底ベクトルの変換とは、
元の座標系（回転していない座標）の基底ベクトルを新しい座標系（回転した座標系）の基底ベクトルに変換する時の表現です。
一方、
ベクトル成分の変換とは、
同じベクトルを新旧の異なる座標軸で見た時のベクトル成分の変化を表現したものです。
」（p.118）

「（非直交座標系では、
ベクトルの成分表示に座標軸に平行な光線を用いた正射影と、
座標軸に垂直な光線を用いた正射影の二種類が存在する。
）この二種類の正射影によって作られる成分が、
座標系の間でどのように変換されるかというと、
『座標軸に垂直な正射影成分』は直接変換行列で座標間を変換し、
『座標軸に平行な正射影成分』は逆変換行列で座標間を変換します。
このような振る舞いのために、
『垂直な正射影成分』はベクトルの共変成分、
『平行な正射影成分』はベクトルの反変成分と呼ばれるようになった。

･･･中略･･･　（反変な量はベクトルの成分ですが、
）なぜ共変な量も成分と呼ぶのか、
そしてもっと重要な、
なぜ共変成分と反変成分の両方に意味があるのかを理解するには、
まず双対基底ベクトルの概念〔注：これは非直交座標系の基底ベクトルと直交する基底ベクトルを有する新しい座標系の概念のことである。
〕を学ばなければなりません。
」（p.126）