角度表示の内積から、成分表示の内積は、自分で導出してみました。

　いつもながら、
明るくわかりやすい、
中学生/高校生の数学対話。
ヴェクトルの内積って、
垂直で空間分割することだったんだ、
と今更ながら初めてその意味を知り、
目の前がパッと開けました。
円と接線の例がまさにそう。


　途中、
それまでの角度表示の内積：
「OA・OB=|OA||OB|cosθ」
という定義だったところに、
突然、
成分表示の内積：
「(ax,ay)・(bx,by)=ax・bx+ay・by」
が説明なく使われたので「あれ？」と思いました。
最後までその証明は出てきませんでしたが、
分配法則が成り立てば、

「(ax,ay)・(bx,by)=(ax(1,0)+ay(0,1))・(bx(1,0)+by(0,1))
　　　　　　　　=ax・bx+ay・by」
と直行成分が消えることに気づき、
Q.E.Dとできました。


　多項式関数やフーリエ級数をヴェクトル表示するのも、
その各"軸"の直交性を強調したいからでしょう。
子供たちみんなに薦めたい、
数学の良本です。