4次元多様体上の不定値計量を主題とするユニークでとても面白い書

　微分幾何学のテキストで扱われる計量の主流は正定値のリーマン計量であり、
不定値計量が扱われるのは相対論との関係からローレンツ計量に限られる場合が多かったと思う。
本書は可微分多様体上の不定値計量の存在に関する話題を解説する、
とても面白い「読みもの」である。


　本書の前半（第6章まで）では、
先ず「n次元コンパクト多様体が指標(n-q,q)の不定値計量を許容する事とq次元平面場を許容する事が同値である」という「スティーンロッドの存在定理」が説明され、
特に向き付けられた4次元コンパクト多様体がニュートラル計量（＝指標(2,2)の不定値計量）を許容する条件である2次元平面場の存在を、
交叉形式に関する2つの条件で記述する「ヒルツェブルフ・ホップの定理」が述べられ、
更にそれが「概複素構造と反概複素構造の存在条件」と同値である事が示されている。
前半の後半の3つの章では、
4次元微分多様体が取り得る交叉形式の分類に関するドナルドソンの驚くべき結果が解説され、
それから「4次元コンパクト多様体上のニュートラル計量の存在条件をオイラー標数とヒルツェブルフ指標で記述する」という著者たちの定理が述べられており素晴らしい。
更に、
複素曲面の場合には、
上記の条件はオイラー標数が偶数であることと同値であり、
K3曲面がその興味深い例である事が示されている。