結び目の不変量 (共立講座 数学の輝き 4) の感想

1980年代半ばにジョーンズ多項式が発見されてから、結び目や絡み目のイソトピー不変量の研究は大きく進展し、それらを量子不変量として統一的に捉えるという研究成果が着実に定着・深化している。本書は結び目の不変量にかかわる研究の進展と成果を解説するかなり本格的な概説書である。

本書は大きく三つの部分に分かれる。最初の四つの章で、結び目や絡み目の不変量が量子群（リボンホップ代数）に付随するR行列から構成される「量子不変量」として把握できるという重要な結果が解説されている。続く三つの章で、全ての量子不変量を統一する「普遍量子不変量」である「コンセビッチ不変量」と量子不変量を共通の性質（「特異結び目の2重点の数が特定の個数を超えると零写像になる」という性質）で括る有限型不変量である「バシリエフ不変量」、及び両者の間に成立する素晴らしい関係が解説されている。最後の四つの章ではこれらの成果の更なる展開といえる、ジョーンズ多項式の圏化である「ホバノフホモロジー」、結び目の「カンドルコサイクル不変量」、コンセビッチ不変量の「ループ展開」、結び目の色付きジョーンズ多項式の特殊値の漸近挙動に結び目補空間の単体的体積が現れるという「体積予想」、などの興味深い話題に触れられている。本書を通読して印象に残った事や感じた事などを述べてみたい。

前半部では、まずヤン-バクスター方程式の解であるR行列と適当な線形写像hを用いて、組みひも群の表現を経由して組みひもの閉包となる絡み目のイソトピー不変量が、また絡み目の拡張であるタングルにオペレータ不変量が定義できるという事実を理解することが重要である。量子群が共有する性質を抽出した「リボンホップ代数」でも、その表現を用いて同様にR行列と線形写像hが定義され、枠付き有向タングルのオペレータ不変量が導入でき、それが枠付き有向絡み目の「普遍A不変量」で統制されるという事実が素晴らしいと思う。

続く中盤部では、単純リー環g