別冊数理科学 数物系のためのミラー対称性入門 2014年 07月号 [雑誌] の感想

感想；数学では、実際に見たことがないのに「わかる」ということが起こります。これには、
論理と情動を基板にして、類推や共感性という共通体験と天才的な飛躍が必要であり、
極めて人間的な活動だと思います。

内容；
ミラー対称性は弦理論の研究における余剰次元のコンパクト化で現れるカラビヤウ多様体の分類で研究され始めました。
物理学から発生したミラー対称性の研究ですが、この流れの中で解決された代数幾何学の問題もあります。
リーマン幾何学が向き付け可能な多様体を扱うのに対して複素多様体論ではメビウスの帯のような向き付け不能の多様体も扱います。ケーラー多様体は複素多様体の仲間です。
弦理論のカラビヤウ多様体の理解のために、位相幾何学、微分幾何学、微分形式が総動員されます。第一チャ−ン類がゼロのコンパクトケーラー多様体をカラビヤウ多様体と呼びますが、第一チャーン類がゼロのとき、いたるところでリッチ曲率がゼロになります。
カラビヤウ多様体によって、位相的シグマモデルにおける相関関数と湯川結合定数の関係も理解されるようになります。

ミラー対称性は弦理論の双対性や圏論とも関連しています。深遠な数理世界です。
(平成26年8月27日）